白い部分の面積を求めなさい〜東京2020

問

白い部分の面積を求めなさい。

• AE=EF=FB=BJ=JK=KC=CG=GH=HD=DL=LI=IA=1 とする。
• 点Oを中心とした円と正方形ABCDは、点E,F,G,H,I,J,K,Lで交わっている。
• 右上の赤丸は直径1の正円である。

解

点Oから線分EFに垂線を下ろし点Pとする。 OP=2OE=3/2である。 三平方の定理から

$$\text{OE}=\sqrt{{\text{OP}}^2+{\text{EP}}^2}=\sqrt{{\left(\frac{3}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{10}}{2}$$

余弦定理から

$$cos\angle \mathrm{\text{IOE}}=\frac{{\mathrm{\text{OI}}}^2+{\mathrm{\text{OE}}}^2-{\mathrm{\text{IE}}}^2}{2\mathrm{\text{OI}}\cdot \mathrm{\text{OE}}}=\frac{10/4+10/4-2}{2\cdot 10/4}=\frac{3}{5}$$

これより、

$$\angle \mathrm{\text{IOE}}={cos}^{-1}\frac{3}{5}$$

点Iから線分EHに下ろし点Qとする。 ここで▵OQI=▵OQEの面積は、OP=3/2, EQ=1であることに注目して

$$▵\mathrm{\text{OQI}}=▵\mathrm{\text{OQE}}=\frac{1\cdot 3/2}{2}=\frac{1}{4}$$

であるから、白色部EMIは、

$$2\left(\frac{5}{4}{cos}^{-1}\frac{3}{5}-\frac{1}{2}\right)+4-\pi {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=3-\frac{\pi }{4}+\frac{5}{4}{cos}^{-1}\frac{3}{5}$$

と表せられる。これを解いて

$$\mathrm{\text{白色部EMI}}=\frac{1}{2}{cos}^{-1}\frac{3}{5}{\left(\frac{\sqrt{10}}{2}\right)}^2-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=\frac{5}{4}{cos}^{-1}\frac{3}{5}-\frac{1}{2}$$

右下も対称性から同様であって、また赤丸は半径1/2の円であることから 求める白い部分の面積は

$$2\left(\frac{5}{4}{cos}^{-1}\frac{3}{5}-\frac{1}{2}\right)+4-\pi {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=3-\frac{\pi }{4}+\frac{5}{2}{cos}^{-1}\frac{3}{5}$$

解答おわり

感想

∠IOE が三角逆関数使わずに表せられなかったので残念。

なお、数値計算してみると白色部はおおよそ4.53となる。

Inspired by

オリンピックのエンブレム、なんとなく既視感がある pic.twitter.com/4FsLOnLfdY

— Phi-san (@Phi_san) July 24, 2015

参考文献

• "The Tokyo 2020 Olympic and Paralympic Games Emblems", The Tokyo Organising Committee of the Olympic and Paralympic Games.
• "24 Jul. 2015 - Tokyo 2020 Unveils the Emblems of the 2020 Olympic and Paralympic Games Symbolising the Power of the World Coming Together as One", News release, The Tokyo Organising Committee of the Olympic and Paralympic Games.
• "Vectorized version of the Tokyo 2020 Summer Olympics Logo", Wikimedia Commons